向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：

　　1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.

　　2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.

　　3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.

　　3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a+b表示的意义为

　　分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.

　　点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB = -BA ， +CB =AB .

　　点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.

　　当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.

　　点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.

　　正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.

　　点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA +OB 与OC +OD 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.

　　3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.

　　2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.

　　3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行(共线)的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.

　　【知识在线. 若向量a的起点坐标为 (-2，1)，终点坐标为(2，-1)，则向量a的坐标为

　　2.若O为坐标原点，向量a=(-3，4)，则与a共线)，则a+b与a-b的坐标分别为 ( )

　　分析 已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.

　　点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.

　　例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.

　　分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x，y)的方程组，不难求得x、y.

　　点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.

　　例3 已知平面上三点P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.

　　分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.

　　点评 本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.

　　分析 三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB =BC ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.

　　点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.

　　3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线b平行的单位向量为5.有下列说法

　　(1) 当t变化时，点P是否在一条定直线) 当t取何值时，点P在y轴上?

　　(3) OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值;若不能，请说明理由.

　　点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.

　　从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a?(b+c)=a?b+b?c，而(a?b)ca(b?c).

　　点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.

　　分析 已知a、b可以求a、b及a?b，进而求得AOB(即a与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sin求面积.

　　点评 向量的数量积公式a?b=∣a∣∣b∣cos不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).

　　分析 要求夹角，必需求出cos;求cos需求出a?b与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a?b的关系.

　　点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cos是一个a?b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.

　　基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.

　　2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )

　　3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.

　　3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )

　　4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .

　　分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC ，PD .

　　点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.

　　本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.

　　分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.

　　点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.

　　面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.

　　因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线.将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.

　　分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+)，y=2sin(2x-)等等.因此，向量a不唯一.

　　要求∣a∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a∣的目标函数.

　　点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.

　　基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.

　　基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.

　　2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )

　　3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )

　　4.将函数 的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数，则a可以是 ( )

　　11. 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =(1，2)平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一?若唯一，求出该函数的解析式;若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征.

　　1. 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.

　　【知识在线.下列各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有 .

　　2.已知三个力F1=(1，3)，F2(-2，1)，F3=pg电子平台(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= .

　　3.设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30o走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 .

　　5.一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东.一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形(角度可用反三角函数表示).

　　例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度3km/h，

　　方向正东，风向北偏西30o，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.

　　分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.

　　设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60o，大小为3 km/h..

　　点评 这是一个与“知识在线题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础.四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.

　　分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA 与BC 、OB与CA、OC与AB 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难.

　　点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化.

　　例3.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1m2)，

　　另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：

　　引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索AOB的大小，在求出AOB后，再向第2问结论努力.

　　点评向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为0，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解.本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为0得到.

　　向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力.

　　1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 ( )

　　3. 一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 ( )

　　4.一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120o的方向航行，已知河水流速为2 km/h，该船若航行6 km，所须时间为 ( )

　　8.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30o，风速是20 km/h.;水的流向是正东，流速为20 km/h.，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 .

　　10.一个30o的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力?若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上静止不动的推力f又如何表示?

　　11. 已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找一点C，使ACB=90o，若能，求出C点坐标;若不能，说明理由.

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

　　11.将函数y=2x的图象按向量a平移后得到函数y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是(-3，0);② a的坐标可以是(0，6);

　　的方向AD 行驶，同时河水的流速为2 km/h.求船实际航行

　　已知点H(-3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ，当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.

　　已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120o.

　　(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值.